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Derivada de la función/ 2-x^2/ x/sqrt(a^2-x^2)/ y=x/sqrt(a^2-x^2)

Derivada de y=x/sqrt(a^2-x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2
x / 2    2\ 
-*\a  - x / 
t
xt(a2−x2)2\frac{x}{t} \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2} 
(x/t)*(a^2 - x^2)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x(a2−x2)2f{\left(x \right)} = x \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2} y g(x)=tg{\left(x \right)} = t.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=(a2−x2)2g{\left(x \right)} = \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=a2−x2u = a^{2} - x^{2}.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2−x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} - x^{2}\right):

        1. diferenciamos a2−x2a^{2} - x^{2} miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            Entonces, como resultado: −2x- 2 x

          Como resultado de: −2x- 2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −2x(2a2−2x2)- 2 x \left(2 a^{2} - 2 x^{2}\right)

      Como resultado de: −2x2(2a2−2x2)+(a2−x2)2- 2 x^{2} \left(2 a^{2} - 2 x^{2}\right) + \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. La derivada de una constante tt es igual a cero.

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −2x2(2a2−2x2)+(a2−x2)2t\frac{- 2 x^{2} \left(2 a^{2} - 2 x^{2}\right) + \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}}{t}

  2. Simplificamos:

    a4−6a2x2+5x4t\frac{a^{4} - 6 a^{2} x^{2} + 5 x^{4}}{t}

Respuesta:

a4−6a2x2+5x4t\frac{a^{4} - 6 a^{2} x^{2} + 5 x^{4}}{t}

Primera derivada [src] 
         2                 
/ 2    2\       2 / 2    2\
\a  - x /    4*x *\a  - x /
---------- - --------------
    t              t
−4x2(a2−x2)t+(a2−x2)2t- \frac{4 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{t} + \frac{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}}{t}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
     /     2      2\
-4*x*\- 5*x  + 3*a /
--------------------
         t
−4x(3a2−5x2)t- \frac{4 x \left(3 a^{2} - 5 x^{2}\right)}{t}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /   2      2\
12*\- a  + 5*x /
----------------
       t
12(−a2+5x2)t\frac{12 \left(- a^{2} + 5 x^{2}\right)}{t}
Simplificar
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