Derivada de y=x/sqrt(a^2-x^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = t$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = a^{2} - x^{2}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} - x^{2}\right)$:

         1. diferenciamos $a^{2} - x^{2}$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $a^{2}$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $- 2 x$

            Como resultado de: $- 2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 x \left(2 a^{2} - 2 x^{2}\right)$

      Como resultado de: $- 2 x^{2} \left(2 a^{2} - 2 x^{2}\right) + \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $t$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 2 x^{2} \left(2 a^{2} - 2 x^{2}\right) + \left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}}{t}$

2. Simplificamos:

   $\frac{a^{4} - 6 a^{2} x^{2} + 5 x^{4}}{t}$

Respuesta:

$\frac{a^{4} - 6 a^{2} x^{2} + 5 x^{4}}{t}$