Derivada de y=cos(x)/sin^3(x)+ln(tgx/2)

1. diferenciamos $\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- \sin^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{6}{\left(x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}} + \frac{- \sin^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{6}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{4}{1 - \cos{\left(2 x \right)}} - \frac{12}{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{4}{1 - \cos{\left(2 x \right)}} - \frac{12}{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)^{2}}$