Derivada de xlnx/(sqrt(1+x))

Solución

Ha introducido [src]

 x*log(x)
---------
  _______
\/ 1 + x

\frac{x \log{\left(x \right)}}{\sqrt{x + 1}}

(x*log(x))/sqrt(1 + x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = x + 1$ .
2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$ :
  1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Como resultado de: $1$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x + 1}$
Simplificamos:

$\frac{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(x + 1\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(x + 1\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

1 + log(x)     x*log(x)  
---------- - ------------
  _______             3/2
\/ 1 + x     2*(1 + x)

- \frac{x \log{\left(x \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{x + 1}}

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Segunda derivada [src]

1   1 + log(x)   3*x*log(x)
- - ---------- + ----------
x     1 + x               2
                 4*(1 + x) 
---------------------------
           _______         
         \/ 1 + x

\frac{\frac{3 x \log{\left(x \right)}}{4 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x + 1} + \frac{1}{x}}{\sqrt{x + 1}}

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Tercera derivada [src]

  1         3        9*(1 + log(x))   15*x*log(x)
- -- - ----------- + -------------- - -----------
   2   2*x*(1 + x)              2               3
  x                    4*(1 + x)       8*(1 + x) 
-------------------------------------------------
                      _______                    
                    \/ 1 + x

\frac{- \frac{15 x \log{\left(x \right)}}{8 \left(x + 1\right)^{3}} + \frac{9 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{4 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3}{2 x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x + 1}}

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Gráfico

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Definida a trozos:

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