Derivada de y=tgx/e^x+1+4x^3sinx

1. diferenciamos $4 x^{3} \sin{\left(x \right)} + \left(1 + \frac{\tan{\left(x \right)}}{e^{x}}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $1 + \frac{\tan{\left(x \right)}}{e^{x}}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - e^{x} \tan{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

      2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - e^{x} \tan{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 4 x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Entonces, como resultado: $12 x^{2}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $4 x^{3} \cos{\left(x \right)} + 12 x^{2} \sin{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $4 x^{3} \cos{\left(x \right)} + 12 x^{2} \sin{\left(x \right)} + \left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - e^{x} \tan{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(4 x^{3} e^{x} \cos^{3}{\left(x \right)} - 12 x^{2} e^{x} \sin^{3}{\left(x \right)} + 12 x^{2} e^{x} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{- x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x^{3} e^{x} \cos^{3}{\left(x \right)} - 12 x^{2} e^{x} \sin^{3}{\left(x \right)} + 12 x^{2} e^{x} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) e^{- x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$