Derivada de xsin(ax+bx)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(a x + b x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = a x + b x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(a x + b x\right)$:

      1. diferenciamos $a x + b x$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $a$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $b$

         Como resultado de: $a + b$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(a + b\right) \cos{\left(a x + b x \right)}$

   Como resultado de: $x \left(a + b\right) \cos{\left(a x + b x \right)} + \sin{\left(a x + b x \right)}$

2. Simplificamos:

   $x \left(a + b\right) \cos{\left(x \left(a + b\right) \right)} + \sin{\left(x \left(a + b\right) \right)}$

Respuesta:

$x \left(a + b\right) \cos{\left(x \left(a + b\right) \right)} + \sin{\left(x \left(a + b\right) \right)}$