Derivada de y=e^(-sin(4x))/(2x-5)^6

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ y $g{\left(x \right)} = \left(2 x - 5\right)^{6} e^{\sin{\left(4 x \right)}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \left(2 x - 5\right)^{6}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x - 5$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{6}$ tenemos $6 u^{5}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - 5\right)$:

         1. diferenciamos $2 x - 5$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $12 \left(2 x - 5\right)^{5}$

      $g{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(4 x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(4 x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \cos{\left(4 x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 e^{\sin{\left(4 x \right)}} \cos{\left(4 x \right)}$

      Como resultado de: $4 \left(2 x - 5\right)^{6} e^{\sin{\left(4 x \right)}} \cos{\left(4 x \right)} + 12 \left(2 x - 5\right)^{5} e^{\sin{\left(4 x \right)}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(- 4 \left(2 x - 5\right)^{6} e^{\sin{\left(4 x \right)}} \cos{\left(4 x \right)} - 12 \left(2 x - 5\right)^{5} e^{\sin{\left(4 x \right)}}\right) e^{- 2 \sin{\left(4 x \right)}}}{\left(2 x - 5\right)^{12}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 \left(\left(5 - 2 x\right) \cos{\left(4 x \right)} - 3\right) e^{- \sin{\left(4 x \right)}}}{\left(2 x - 5\right)^{7}}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(\left(5 - 2 x\right) \cos{\left(4 x \right)} - 3\right) e^{- \sin{\left(4 x \right)}}}{\left(2 x - 5\right)^{7}}$