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Derivada de la función/ sqrt(x)*i^n*(sqrt(x)+sqrt(x+1))

Derivada de sqrt(x)*i^n*(sqrt(x)+sqrt(x+1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  ___  n /  ___     _______\
\/ x *I *\\/ x  + \/ x + 1 /
inx(x+x+1)i^{n} \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right) 
(sqrt(x)*i^n)*(sqrt(x) + sqrt(x + 1))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=inxf{\left(x \right)} = i^{n} \sqrt{x}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

      Entonces, como resultado: in2x\frac{i^{n}}{2 \sqrt{x}}

    g(x)=x+x+1g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + \sqrt{x + 1}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x+x+1\sqrt{x} + \sqrt{x + 1} miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

      2. Sustituimos u=x+1u = x + 1.

      3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+1)\frac{d}{d x} \left(x + 1\right):

        1. diferenciamos x+1x + 1 miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          2. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        12x+1\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}

      Como resultado de: 12x+1+12x\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

    Como resultado de: inx(12x+1+12x)+in(x+x+1)2xi^{n} \sqrt{x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) + \frac{i^{n} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)}{2 \sqrt{x}}

  2. Simplificamos:

    in(x+x+1)22xx+1\frac{i^{n} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}}

Respuesta:

in(x+x+1)22xx+1\frac{i^{n} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}}

Primera derivada [src] 
                                    n /  ___     _______\
 n   ___ /   1           1     \   I *\\/ x  + \/ x + 1 /
I *\/ x *|------- + -----------| + ----------------------
         |    ___       _______|              ___        
         \2*\/ x    2*\/ x + 1 /          2*\/ x
inx(12x+1+12x)+in(x+x+1)2xi^{n} \sqrt{x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) + \frac{i^{n} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)}{2 \sqrt{x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
   /                                                    /  1         1    \\
   |                                                  2*|----- + ---------||
   |                                ___     _______     |  ___     _______||
 n |    ___ / 1         1     \   \/ x  + \/ 1 + x      \\/ x    \/ 1 + x /|
I *|- \/ x *|---- + ----------| - ----------------- + ---------------------|
   |        | 3/2          3/2|           3/2                   ___        |
   \        \x      (1 + x)   /          x                    \/ x         /
----------------------------------------------------------------------------
                                     4
in(−x(1(x+1)32+1x32)+2(1x+1+1x)x−x+x+1x32)4\frac{i^{n} \left(- \sqrt{x} \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
     /                                                  1         1        1         1     \
     |                                                ----- + ---------   ---- + ----------|
     |                              ___     _______     ___     _______    3/2          3/2|
   n |  ___ / 1         1     \   \/ x  + \/ 1 + x    \/ x    \/ 1 + x    x      (1 + x)   |
3*I *|\/ x *|---- + ----------| + ----------------- - ----------------- - -----------------|
     |      | 5/2          5/2|           5/2                 3/2                 ___      |
     \      \x      (1 + x)   /          x                   x                  \/ x       /
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                             8
3in(x(1(x+1)52+1x52)−1(x+1)32+1x32x−1x+1+1xx32+x+x+1x52)8\frac{3 i^{n} \left(\sqrt{x} \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right) - \frac{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{x}} - \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8}
Simplificar
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