Derivada de ((z-0,5)^2)/(1+sqrt(z+1))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = \left(2 z - 1\right)^{2}$ y $g{\left(z \right)} = 4 \sqrt{z + 1} + 4$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 z - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(2 z - 1\right)$:

      1. diferenciamos $2 z - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $8 z - 4$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. diferenciamos $4 \sqrt{z + 1} + 4$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = z + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z + 1\right)$:

            1. diferenciamos $z + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{2 \sqrt{z + 1}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{2}{\sqrt{z + 1}}$

      Como resultado de: $\frac{2}{\sqrt{z + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(8 z - 4\right) \left(4 \sqrt{z + 1} + 4\right) - \frac{2 \left(2 z - 1\right)^{2}}{\sqrt{z + 1}}}{\left(4 \sqrt{z + 1} + 4\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(2 z - 1\right) \left(- 2 z + 8 \sqrt{z + 1} \left(\sqrt{z + 1} + 1\right) + 1\right)}{8 \sqrt{z + 1} \left(\sqrt{z + 1} + 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 z - 1\right) \left(- 2 z + 8 \sqrt{z + 1} \left(\sqrt{z + 1} + 1\right) + 1\right)}{8 \sqrt{z + 1} \left(\sqrt{z + 1} + 1\right)^{2}}$