Derivada de y=sin(2x)csc(x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\csc{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   Como resultado de: $2 \cos{\left(2 x \right)} \csc{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- 2 \sin{\left(x \right)}$

Respuesta:

$- 2 \sin{\left(x \right)}$