Derivada de (1+x^2)/(2*sqrt(1+2*x^2))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} + 1$ y $g{\left(x \right)} = 2 \sqrt{2 x^{2} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Como resultado de: $2 x$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 2 x^{2} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $2 x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $4 x$

            Como resultado de: $4 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{4 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{4 x \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} + 4 x \sqrt{2 x^{2} + 1}}{8 x^{2} + 4}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{3}}{\left(2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{\left(2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$