Halla la derivada y' = f'(x) = y=tg(cos(x/4)) (y es igual a tg(coseno de (x dividir por 4))) - funciones. Hallemos el valor de la derivada de la función en el punto. [¡Hay una RESPUESTA!] online
Sr Examen

Otras calculadoras


y=tg(cos(x/4))

Derivada de y=tg(cos(x/4))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /   /x\\
tan|cos|-||
   \   \4//
tan(cos(x4))\tan{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}
tan(cos(x/4))
Solución detallada
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

    tan(cos(x4))=sin(cos(x4))cos(cos(x4))\tan{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{\cos{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}

  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=sin(cos(x4))f{\left(x \right)} = \sin{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} y g(x)=cos(cos(x4))g{\left(x \right)} = \cos{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=cos(x4)u = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}.

    2. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos(x4)\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}:

      1. Sustituimos u=x4u = \frac{x}{4}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx4\frac{d}{d x} \frac{x}{4}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 14\frac{1}{4}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin(x4)4- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      sin(x4)cos(cos(x4))4- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{4}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=cos(x4)u = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}.

    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos(x4)\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}:

      1. Sustituimos u=x4u = \frac{x}{4}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx4\frac{d}{d x} \frac{x}{4}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 14\frac{1}{4}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin(x4)4- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      sin(x4)sin(cos(x4))4\frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \sin{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{4}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    sin(x4)sin2(cos(x4))4sin(x4)cos2(cos(x4))4cos2(cos(x4))\frac{- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \sin^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}{4}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}

  3. Simplificamos:

    sin(x4)4cos2(cos(x4))- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4 \cos^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}


Respuesta:

sin(x4)4cos2(cos(x4))- \frac{\sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4 \cos^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Primera derivada [src]
 /       2/   /x\\\    /x\ 
-|1 + tan |cos|-|||*sin|-| 
 \        \   \4///    \4/ 
---------------------------
             4             
(tan2(cos(x4))+1)sin(x4)4- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}
Segunda derivada [src]
/       2/   /x\\\ /     /x\        2/x\    /   /x\\\
|1 + tan |cos|-|||*|- cos|-| + 2*sin |-|*tan|cos|-|||
\        \   \4/// \     \4/         \4/    \   \4///
-----------------------------------------------------
                          16                         
(2sin2(x4)tan(cos(x4))cos(x4))(tan2(cos(x4))+1)16\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \tan{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} + 1\right)}{16}
Tercera derivada [src]
/       2/   /x\\\ /         2/x\    2/   /x\\        2/x\ /       2/   /x\\\        /x\    /   /x\\\    /x\
|1 + tan |cos|-|||*|1 - 4*sin |-|*tan |cos|-|| - 2*sin |-|*|1 + tan |cos|-||| + 6*cos|-|*tan|cos|-|||*sin|-|
\        \   \4/// \          \4/     \   \4//         \4/ \        \   \4///        \4/    \   \4///    \4/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     64                                                     
(tan2(cos(x4))+1)(2(tan2(cos(x4))+1)sin2(x4)4sin2(x4)tan2(cos(x4))+6cos(x4)tan(cos(x4))+1)sin(x4)64\frac{\left(\tan^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} + 1\right) \left(- 2 \left(\tan^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} \tan^{2}{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \tan{\left(\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{64}
Gráfico
Derivada de y=tg(cos(x/4))