Derivada de cos(x)/(e^x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $- \sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$- \sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$