Sr Examen

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cot(3*x)^(4)
Derivada de la función/ cot(3*x)/ cot(3*x)^(4)

Derivada de cot(3*x)^(4)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   4     
cot (3*x)
cot⁡4(3x)\cot^{4}{\left(3 x \right)} 
cot(3*x)^4
Solución detallada

  1. Sustituimos u=cot⁡(3x)u = \cot{\left(3 x \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u4u^{4} tenemos 4u34 u^{3}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(3x)\frac{d}{d x} \cot{\left(3 x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(3x)=1tan⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(3x)u = \tan{\left(3 x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(3x)\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(3x)=sin⁡(3x)cos⁡(3x)\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} y g(x)=cos⁡(3x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 33

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            3cos⁡(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 33

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −3sin⁡(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x)cos⁡2(3x)\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x)cos⁡2(3x)tan⁡2(3x)- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(3x)=cos⁡(3x)sin⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)} y g(x)=sin⁡(3x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 33

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −3sin⁡(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 33

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          3cos⁡(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −3sin⁡2(3x)−3cos⁡2(3x)sin⁡2(3x)\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −4(3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x))cot⁡3(3x)cos⁡2(3x)tan⁡2(3x)- \frac{4 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cot^{3}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −12cos⁡3(3x)sin⁡5(3x)- \frac{12 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}

Respuesta:

−12cos⁡3(3x)sin⁡5(3x)- \frac{12 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000000000010000000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   3      /            2     \
cot (3*x)*\-12 - 12*cot (3*x)/
(−12cot⁡2(3x)−12)cot⁡3(3x)\left(- 12 \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 12\right) \cot^{3}{\left(3 x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
      2      /       2     \ /         2     \
36*cot (3*x)*\1 + cot (3*x)/*\3 + 5*cot (3*x)/
36(cot⁡2(3x)+1)(5cot⁡2(3x)+3)cot⁡2(3x)36 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(5 \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 3\right) \cot^{2}{\left(3 x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                     /                               2                               \         
     /       2     \ |     4          /       2     \          2      /       2     \|         
-216*\1 + cot (3*x)/*\2*cot (3*x) + 3*\1 + cot (3*x)/  + 10*cot (3*x)*\1 + cot (3*x)//*cot(3*x)
−216(cot⁡2(3x)+1)(3(cot⁡2(3x)+1)2+10(cot⁡2(3x)+1)cot⁡2(3x)+2cot⁡4(3x))cot⁡(3x)- 216 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(3 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} + 10 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 2 \cot^{4}{\left(3 x \right)}\right) \cot{\left(3 x \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de cot(3*x)^(4)
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