Derivada de xtan^-1(x)

Solución

Ha introducido [src]

  x   
------
tan(x)

$$\frac{x}{\tan{\left(x \right)}}$$

x/tan(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

           /        2   \
  1      x*\-1 - tan (x)/
------ + ----------------
tan(x)          2        
             tan (x)

$$\frac{x \left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                /             /            2   \\
  /       2   \ |    1        |     1 + tan (x)||
2*\1 + tan (x)/*|- ------ + x*|-1 + -----------||
                |  tan(x)     |          2     ||
                \             \       tan (x)  //
-------------------------------------------------
                      tan(x)

$$\frac{2 \left(x \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  /                                                                            /            2   \\
  |                                                              /       2   \ |     1 + tan (x)||
  |    /                               2                  3\   3*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------||
  |    |                  /       2   \      /       2   \ |                   |          2     ||
  |    |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |                   \       tan (x)  /|
2*|- x*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------| + ----------------------------------|
  |    |                       2                  4        |                 tan(x)              |
  \    \                    tan (x)            tan (x)     /                                     /

$$2 \left(- x \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) + \frac{3 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

Simplificar

Gráfico

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Derivada de xtan^-1(x)

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