Derivada de y=ln√(x+4)/(x-4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x + 4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x - 4$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x + 4}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x + 4}$:

      1. Sustituimos $u = x + 4$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 4\right)$:

         1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \left(x + 4\right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{x - 4}{2 \left(x + 4\right)} - \log{\left(\sqrt{x + 4} \right)}}{\left(x - 4\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x - \left(x + 4\right) \log{\left(x + 4 \right)} - 4}{2 \left(x - 4\right)^{2} \left(x + 4\right)}$

Respuesta:

$\frac{x - \left(x + 4\right) \log{\left(x + 4 \right)} - 4}{2 \left(x - 4\right)^{2} \left(x + 4\right)}$