Derivada de y=sec^2πt

1. Sustituimos $u = \sec{\left(\pi t \right)}$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \sec{\left(\pi t \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\sec{\left(\pi t \right)} = \frac{1}{\cos{\left(\pi t \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(\pi t \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \cos{\left(\pi t \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \pi t$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \pi t$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\pi$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \pi \sin{\left(\pi t \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\pi \sin{\left(\pi t \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi t \right)}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $\frac{2 \pi \sin{\left(\pi t \right)} \sec{\left(\pi t \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi t \right)}}$

4. Simplificamos:

   $\frac{2 \pi \sin{\left(\pi t \right)}}{\cos^{3}{\left(\pi t \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \pi \sin{\left(\pi t \right)}}{\cos^{3}{\left(\pi t \right)}}$