Derivada de (5*x-x^2)/sqrt(x^2-1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - x^{2} + 5 x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $- x^{2} + 5 x$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $- 2 x$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de: $5 - 2 x$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{x \left(- x^{2} + 5 x\right)}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \left(5 - 2 x\right) \sqrt{x^{2} - 1}}{x^{2} - 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- x^{3} + 2 x - 5}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{- x^{3} + 2 x - 5}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$