Derivada de 2^(3*x)/3^(2*x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{3 x}$ y $g{\left(x \right)} = 3^{2 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cdot 2^{3 x} \log{\left(2 \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. $\frac{d}{d u} 3^{u} = 3^{u} \log{\left(3 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cdot 3^{2 x} \log{\left(3 \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $3^{- 4 x} \left(- 2 \cdot 2^{3 x} 3^{2 x} \log{\left(3 \right)} + 3 \cdot 2^{3 x} 3^{2 x} \log{\left(2 \right)}\right)$

2. Simplificamos:

   $\log{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{72^{x} 81^{- x}} \right)}$

Respuesta:

$\log{\left(\left(\frac{8}{9}\right)^{72^{x} 81^{- x}} \right)}$