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Derivada de la función/ (x/2)/ tan(x/2)^(2)

Derivada de tan(x/2)^(2)

Solución

Ha introducido [src]

   2/x\
tan |-|
    \2/

$$\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

tan(x/2)^2

Solución detallada

Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/       2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*tan|-|
\        \2//    \2/

$$\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                /       2/x\\
                |    tan |-||
/         2/x\\ |1       \2/|
|1 + 3*tan |-||*|- + -------|
\          \2// \2      2   /

$$\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/       2/x\\ /         2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*|2 + 3*tan |-||*tan|-|
\        \2// \          \2//    \2/

$$\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Simplificar

Gráfico

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Derivada de tan(x/2)^(2)

Gráfico:

Definida a trozos:

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