Derivada de x/(x^n-xln(x))

Solución

Ha introducido [src]

      x      
-------------
 n           
x  - x*log(x)

$$\frac{x}{- x \log{\left(x \right)} + x^{n}}$$

x/(x^n - x*log(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)} + x^{n}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $- x \log{\left(x \right)} + x^{n}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x^{n}$ tenemos $\frac{n x^{n}}{x}$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
    Entonces, como resultado: $- \log{\left(x \right)} - 1$
  Como resultado de: $\frac{n x^{n}}{x} - \log{\left(x \right)} - 1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- x \left(\frac{n x^{n}}{x} - \log{\left(x \right)} - 1\right) - x \log{\left(x \right)} + x^{n}}{\left(- x \log{\left(x \right)} + x^{n}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{- n x^{n} + x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) - x \log{\left(x \right)} + x^{n}}{\left(x \log{\left(x \right)} - x^{n}\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{- n x^{n} + x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) - x \log{\left(x \right)} + x^{n}}{\left(x \log{\left(x \right)} - x^{n}\right)^{2}}$

Primera derivada [src]

                  /       n         \
                  |    n*x          |
                x*|1 - ---- + log(x)|
      1           \     x           /
------------- + ---------------------
 n                                2  
x  - x*log(x)      / n           \   
                   \x  - x*log(x)/

$$\frac{x \left(- \frac{n x^{n}}{x} + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(- x \log{\left(x \right)} + x^{n}\right)^{2}} + \frac{1}{- x \log{\left(x \right)} + x^{n}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                 /                                          2\         
                 |         n    2  n     /       n         \ |         
                 |      n*x    n *x      |    n*x          | |         
                 |  1 + ---- - -----   2*|1 - ---- + log(x)| |        n
                 |       x       x       \     x           / |   2*n*x 
2 + 2*log(x) - x*|- ---------------- + ----------------------| - ------
                 |         x                 n               |     x   
                 \                        - x  + x*log(x)    /         
-----------------------------------------------------------------------
                                            2                          
                           /   n           \                           
                           \- x  + x*log(x)/

$$\frac{- \frac{2 n x^{n}}{x} - x \left(\frac{2 \left(- \frac{n x^{n}}{x} + \log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x \log{\left(x \right)} - x^{n}} - \frac{- \frac{n^{2} x^{n}}{x} + \frac{n x^{n}}{x} + 1}{x}\right) + 2 \log{\left(x \right)} + 2}{\left(x \log{\left(x \right)} - x^{n}\right)^{2}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

 /  /                                                    3                                           \                                               2\ 
 |  |     3  n      2  n        n     /       n         \      /       n    2  n\ /       n         \|     /       n    2  n\     /       n         \ | 
 |  |    n *x    3*n *x    2*n*x      |    n*x          |      |    n*x    n *x | |    n*x          ||     |    n*x    n *x |     |    n*x          | | 
 |  |1 + ----- - ------- + ------   6*|1 - ---- + log(x)|    6*|1 + ---- - -----|*|1 - ---- + log(x)||   3*|1 + ---- - -----|   6*|1 - ---- + log(x)| | 
 |  |      x        x        x        \     x           /      \     x       x  / \     x           /|     \     x       x  /     \     x           / | 
-|x*|---------------------------- - ---------------------- + ----------------------------------------| - -------------------- + ----------------------| 
 |  |              2                                   2                 /   n           \           |            x                   n               | 
 |  |             x                   /   n           \                x*\- x  + x*log(x)/           |                             - x  + x*log(x)    | 
 \  \                                 \- x  + x*log(x)/                                              /                                                / 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                    2                                                                   
                                                                   /   n           \                                                                    
                                                                   \- x  + x*log(x)/

$$- \frac{x \left(- \frac{6 \left(- \frac{n x^{n}}{x} + \log{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\left(x \log{\left(x \right)} - x^{n}\right)^{2}} + \frac{6 \left(- \frac{n x^{n}}{x} + \log{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{n^{2} x^{n}}{x} + \frac{n x^{n}}{x} + 1\right)}{x \left(x \log{\left(x \right)} - x^{n}\right)} + \frac{\frac{n^{3} x^{n}}{x} - \frac{3 n^{2} x^{n}}{x} + \frac{2 n x^{n}}{x} + 1}{x^{2}}\right) + \frac{6 \left(- \frac{n x^{n}}{x} + \log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x \log{\left(x \right)} - x^{n}} - \frac{3 \left(- \frac{n^{2} x^{n}}{x} + \frac{n x^{n}}{x} + 1\right)}{x}}{\left(x \log{\left(x \right)} - x^{n}\right)^{2}}$$

Simplificar

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Derivada de x/(x^n-xln(x))

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Definida a trozos:

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