Derivada de (x*sin(3*x))/(e^(2*x)+2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \sin{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{2 x} + 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de: $3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $e^{2 x} + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. Sustituimos $u = 2 x$.

      3. Derivado $e^{u}$ es.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 e^{2 x}$

      Como resultado de: $2 e^{2 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 2 x e^{2 x} \sin{\left(3 x \right)} + \left(3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) \left(e^{2 x} + 2\right)}{\left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{- 2 x e^{2 x} \sin{\left(3 x \right)} + \left(3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) \left(e^{2 x} + 2\right)}{\left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}$