Derivada de x(lnx/x)sinx

Solución

Ha introducido [src]

  log(x)       
x*------*sin(x)
    x

$$x \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \sin{\left(x \right)}$$

(x*(log(x)/x))*sin(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  $h{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x \left(x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$
Simplificamos:

$\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/  /1    log(x)\   log(x)\                       
|x*|-- - ------| + ------|*sin(x) + cos(x)*log(x)
|  | 2      2  |     x   |                       
\  \x      x   /         /

$$\left(x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) \sin{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

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Segunda derivada [src]

  sin(x)                   2*cos(x)
- ------ - log(x)*sin(x) + --------
     2                        x    
    x

$$- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

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Tercera derivada [src]

                 3*sin(x)   3*cos(x)   2*sin(x)
-cos(x)*log(x) - -------- - -------- + --------
                    x           2          3   
                               x          x

$$- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

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