Sr Examen

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y=ln(tgx)+xarctg^3*5x
Derivada de la función/ arctg/ (tgx)/ y=ln(tgx)+xarctg^3*5x

Derivada de y=ln(tgx)+xarctg^3*5x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    3     
log(tan(x)) + x*atan (5)*x
xxatan⁡3(5)+log⁡(tan⁡(x))x x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} 
log(tan(x)) + (x*atan(5)^3)*x
Solución detallada

  1. diferenciamos xxatan⁡3(5)+log⁡(tan⁡(x))x x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}

    4. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xatan⁡3(5)f{\left(x \right)} = x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Entonces, como resultado: atan⁡3(5)\operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)}

      g(x)=xg{\left(x \right)} = x; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      Como resultado de: 2xatan⁡3(5)2 x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)}

    Como resultado de: 2xatan⁡3(5)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡(x)2 x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    2xatan⁡3(5)+2sin⁡(2x)2 x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)} + \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}

Respuesta:

2xatan⁡3(5)+2sin⁡(2x)2 x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)} + \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       2                  
1 + tan (x)           3   
----------- + 2*x*atan (5)
   tan(x)
2xatan⁡3(5)+tan⁡2(x)+1tan⁡(x)2 x \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                          2
                             /       2   \ 
          3           2      \1 + tan (x)/ 
2 + 2*atan (5) + 2*tan (x) - --------------
                                   2       
                                tan (x)
−(tan⁡2(x)+1)2tan⁡2(x)+2tan⁡2(x)+2+2atan⁡3(5)- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 + 2 \operatorname{atan}^{3}{\left(5 \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                /                        2                  \
                |           /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - ---------------|
                |                 3               tan(x)    |
                \              tan (x)                      /
2(tan⁡2(x)+1)((tan⁡2(x)+1)2tan⁡3(x)−2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+2tan⁡(x))2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + 2 \tan{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln(tgx)+xarctg^3*5x
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