Derivada de y'=exp(x)*cos(exp(x)+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{x} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x} + 1$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- e^{x} \sin{\left(e^{x} + 1 \right)}$

   Como resultado de: $- e^{2 x} \sin{\left(e^{x} + 1 \right)} + e^{x} \cos{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- e^{x} \sin{\left(e^{x} + 1 \right)} + \cos{\left(e^{x} + 1 \right)}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(- e^{x} \sin{\left(e^{x} + 1 \right)} + \cos{\left(e^{x} + 1 \right)}\right) e^{x}$