Derivada de (x*sinx+cosx)/(x+sinx)

Solución

Ha introducido [src]

x*sin(x) + cos(x)
-----------------
    x + sin(x)

$$\frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}}$$

(x*sin(x) + cos(x))/(x + sin(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $\cos{\left(x \right)} + 1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x \left(x + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} - \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x^{2} \cos{\left(x \right)} - x \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \cos{\left(x \right)} - x \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 x*cos(x)    (-1 - cos(x))*(x*sin(x) + cos(x))
---------- + ---------------------------------
x + sin(x)                         2          
                       (x + sin(x))

$$\frac{x \cos{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$$

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Segunda derivada [src]

                                /              2         \                                   
                                |2*(1 + cos(x))          |                                   
            (x*sin(x) + cos(x))*|--------------- + sin(x)|                                   
                                \   x + sin(x)           /   2*x*(1 + cos(x))*cos(x)         
-x*sin(x) + ---------------------------------------------- - ----------------------- + cos(x)
                              x + sin(x)                            x + sin(x)               
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                          x + sin(x)

$$\frac{- x \sin{\left(x \right)} - \frac{2 x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x + \sin{\left(x \right)}}\right)}{x + \sin{\left(x \right)}}}{x + \sin{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                                           /                        3                        \                                                                              
                                           |          6*(1 + cos(x))    6*(1 + cos(x))*sin(x)|                                             /              2         \       
                       (x*sin(x) + cos(x))*|-cos(x) + --------------- + ---------------------|                                             |2*(1 + cos(x))          |       
                                           |                       2          x + sin(x)     |                                         3*x*|--------------- + sin(x)|*cos(x)
                                           \           (x + sin(x))                          /   3*(1 + cos(x))*(-cos(x) + x*sin(x))       \   x + sin(x)           /       
-2*sin(x) - x*cos(x) - ----------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------- + -------------------------------------
                                                      x + sin(x)                                              x + sin(x)                             x + sin(x)             
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 x + sin(x)

$$\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \frac{3 x \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x + \sin{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{x + \sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{x + \sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{x + \sin{\left(x \right)}}}{x + \sin{\left(x \right)}}$$

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