Derivada de y=x^2cos7x+sin(3x^7+1)+8x

1. diferenciamos $8 x + \left(x^{2} \cos{\left(7 x \right)} + \sin{\left(3 x^{7} + 1 \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x^{2} \cos{\left(7 x \right)} + \sin{\left(3 x^{7} + 1 \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 7 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $7$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

         Como resultado de: $- 7 x^{2} \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \cos{\left(7 x \right)}$

      2. Sustituimos $u = 3 x^{7} + 1$.

      3. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x^{7} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $3 x^{7} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{7}$ tenemos $7 x^{6}$

               Entonces, como resultado: $21 x^{6}$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $21 x^{6}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $21 x^{6} \cos{\left(3 x^{7} + 1 \right)}$

      Como resultado de: $21 x^{6} \cos{\left(3 x^{7} + 1 \right)} - 7 x^{2} \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \cos{\left(7 x \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $8$

   Como resultado de: $21 x^{6} \cos{\left(3 x^{7} + 1 \right)} - 7 x^{2} \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \cos{\left(7 x \right)} + 8$

2. Simplificamos:

   $21 x^{6} \cos{\left(3 x^{7} + 1 \right)} - 7 x^{2} \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \cos{\left(7 x \right)} + 8$

Respuesta:

$21 x^{6} \cos{\left(3 x^{7} + 1 \right)} - 7 x^{2} \sin{\left(7 x \right)} + 2 x \cos{\left(7 x \right)} + 8$