Derivada de y=(1+cos5x)sin^2(3x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\cos{\left(5 x \right)} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Sustituimos $u = 5 x$.

      3. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de: $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$

   Como resultado de: $6 \left(\cos{\left(5 x \right)} + 1\right) \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 5 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(3 x \right)} + \frac{11 \cos{\left(8 x \right)}}{2}\right) \sin{\left(3 x \right)}$

Respuesta:

$\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 6 \cos{\left(3 x \right)} + \frac{11 \cos{\left(8 x \right)}}{2}\right) \sin{\left(3 x \right)}$