Derivada de x*log(x,exp)

Solución

Ha introducido [src]

   log(x)
x*-------
     / x\
  log\e /

$$x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

x*(log(x)/log(exp(x)))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = e^{x}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x}$ :
  1. Derivado $e^{x}$ es.
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- x \log{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{x}$

Respuesta:

$\frac{1}{x}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  /    1        log(x) \    log(x)
x*|--------- - --------| + -------
  |     / x\      2/ x\|      / x\
  \x*log\e /   log \e //   log\e /

$$x \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(e^{x} \right)}}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

2     /1    2*log(x)       2    \   2*log(x)
- - x*|-- - -------- + ---------| - --------
x     | 2      2/ x\        / x\|      / x\ 
      \x    log \e /   x*log\e //   log\e / 
--------------------------------------------
                     / x\                   
                  log\e /

$$\frac{- x \left(- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} + \frac{2}{x \log{\left(e^{x} \right)}} + \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}} + \frac{2}{x}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  3      /2    6*log(x)       3            6     \       6       6*log(x)
- -- + x*|-- - -------- + ---------- + ----------| - --------- + --------
   2     | 3      3/ x\    2    / x\        2/ x\|        / x\      2/ x\
  x      \x    log \e /   x *log\e /   x*log \e //   x*log\e /   log \e /
-------------------------------------------------------------------------
                                    / x\                                 
                                 log\e /

$$\frac{x \left(- \frac{6 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{3}} + \frac{6}{x \log{\left(e^{x} \right)}^{2}} + \frac{3}{x^{2} \log{\left(e^{x} \right)}} + \frac{2}{x^{3}}\right) + \frac{6 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(e^{x} \right)}^{2}} - \frac{6}{x \log{\left(e^{x} \right)}} - \frac{3}{x^{2}}}{\log{\left(e^{x} \right)}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

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