Sr Examen

Derivada de x/sinx+cosx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  x            
------ + cos(x)
sin(x)         
xsin(x)+cos(x)\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)}
x/sin(x) + cos(x)
Solución detallada
  1. diferenciamos xsin(x)+cos(x)\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      xcos(x)+sin(x)sin2(x)\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

    Como resultado de: xcos(x)+sin(x)sin2(x)sin(x)\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    xcos(x)sin2(x)sin(x)+1sin(x)- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}


Respuesta:

xcos(x)sin2(x)sin(x)+1sin(x)- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Primera derivada [src]
  1               x*cos(x)
------ - sin(x) - --------
sin(x)               2    
                  sin (x) 
xcos(x)sin2(x)sin(x)+1sin(x)- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
Segunda derivada [src]
                                     2   
            x      2*cos(x)   2*x*cos (x)
-cos(x) + ------ - -------- + -----------
          sin(x)      2            3     
                   sin (x)      sin (x)  
xsin(x)+2xcos2(x)sin3(x)cos(x)2cos(x)sin2(x)\frac{x}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
Tercera derivada [src]
              2             3                         
  3      6*cos (x)   6*x*cos (x)   5*x*cos(x)         
------ + --------- - ----------- - ---------- + sin(x)
sin(x)       3            4            2              
          sin (x)      sin (x)      sin (x)           
5xcos(x)sin2(x)6xcos3(x)sin4(x)+sin(x)+3sin(x)+6cos2(x)sin3(x)- \frac{5 x \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{6 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} + \frac{3}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}
Gráfico
Derivada de x/sinx+cosx