Derivada de e^tan^-1x

Solución

Ha introducido [src]

   1   
 ------
 tan(x)
E

$$e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}$$

E^(1/tan(x))

Solución detallada

Sustituimos $u = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$ .
Derivado $e^{u}$ es.
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$ :
1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                  1   
                ------
/        2   \  tan(x)
\-1 - tan (x)/*e      
----------------------
          2           
       tan (x)

$$\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                                                      1   
              /            2        /       2   \\  ------
/       2   \ |     1 + tan (x)   2*\1 + tan (x)/|  tan(x)
\1 + tan (x)/*|-2 + ----------- + ---------------|*e      
              |          3               2       |        
              \       tan (x)         tan (x)    /        
----------------------------------------------------------
                          tan(x)

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - 2\right) e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

              /                  2                  2                  2                                     \    1   
              |     /       2   \      /       2   \      /       2   \      /       2   \      /       2   \|  ------
/       2   \ |     \1 + tan (x)/    6*\1 + tan (x)/    6*\1 + tan (x)/    6*\1 + tan (x)/   10*\1 + tan (x)/|  tan(x)
\1 + tan (x)/*|-4 - -------------- - ---------------- - ---------------- + --------------- + ----------------|*e      
              |           6                 5                  4                  3                 2        |        
              \        tan (x)           tan (x)            tan (x)            tan (x)           tan (x)     /

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{5}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - 4\right) e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}$$

Simplificar

Gráfico

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¿Cómo usar?

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Derivada de e^tan^-1x

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Definida a trozos:

Solución