Sr Examen

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y=xln(x+√(x^2−1))
Derivada de la función/ y=xln/ xln(x+√(x^2−1))/ y=xln(x+√(x^2−1))

Derivada de y=xln(x+√(x^2−1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /       ________\
     |      /  2     |
x*log\x + \/  x  - 1 /
xlog⁡(x+x2−1)x \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)} 
x*log(x + sqrt(x^2 - 1))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=log⁡(x+x2−1)g{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x+x2−1u = x + \sqrt{x^{2} - 1}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+x2−1)\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right):

      1. diferenciamos x+x2−1x + \sqrt{x^{2} - 1} miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        2. Sustituimos u=x2−1u = x^{2} - 1.

        3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2−1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right):

          1. diferenciamos x2−1x^{2} - 1 miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            2. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

            Como resultado de: 2x2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          xx2−1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

        Como resultado de: xx2−1+1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xx2−1+1x+x2−1\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}

    Como resultado de: x(xx2−1+1)x+x2−1+log⁡(x+x2−1)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)}{x + \sqrt{x^{2} - 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)}

  2. Simplificamos:

    xx2−1+log⁡(x+x2−1)\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)}

Respuesta:

xx2−1+log⁡(x+x2−1)\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010050
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
  /         x     \                       
x*|1 + -----------|                       
  |       ________|                       
  |      /  2     |      /       ________\
  \    \/  x  - 1 /      |      /  2     |
------------------- + log\x + \/  x  - 1 /
         ________                         
        /  2                              
  x + \/  x  - 1
x(xx2−1+1)x+x2−1+log⁡(x+x2−1)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)}{x + \sqrt{x^{2} - 1}} + \log{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
      /                  2               \               
      |/         x      \             2  |               
      ||1 + ------------|            x   |               
      ||       _________|    -1 + -------|               
      ||      /       2 |               2|               
      |\    \/  -1 + x  /         -1 + x |       2*x     
2 - x*|------------------- + ------------| + ------------
      |         _________       _________|      _________
      |        /       2       /       2 |     /       2 
      \  x + \/  -1 + x      \/  -1 + x  /   \/  -1 + x  
---------------------------------------------------------
                            _________                    
                           /       2                     
                     x + \/  -1 + x
−x(x2x2−1−1x2−1+(xx2−1+1)2x+x2−1)+2xx2−1+2x+x2−1\frac{- x \left(\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}\right) + \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                    3                                             /         2  \\                       2                   
  |  /         x      \        /         2  \     /         x      \ |        x   ||     /         x      \      /         2  \
  |2*|1 + ------------|        |        x   |   3*|1 + ------------|*|-1 + -------||   3*|1 + ------------|      |        x   |
  |  |       _________|    3*x*|-1 + -------|     |       _________| |           2||     |       _________|    3*|-1 + -------|
  |  |      /       2 |        |           2|     |      /       2 | \     -1 + x /|     |      /       2 |      |           2|
  |  \    \/  -1 + x  /        \     -1 + x /     \    \/  -1 + x  /               |     \    \/  -1 + x  /      \     -1 + x /
x*|--------------------- + ------------------ + -----------------------------------| - --------------------- - ----------------
  |                   2                3/2           _________ /       _________\  |             _________          _________  
  | /       _________\        /      2\             /       2  |      /       2 |  |            /       2          /       2   
  | |      /       2 |        \-1 + x /           \/  -1 + x  *\x + \/  -1 + x  /  |      x + \/  -1 + x         \/  -1 + x    
  \ \x + \/  -1 + x  /                                                             /                                           
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                               _________                                                       
                                                              /       2                                                        
                                                        x + \/  -1 + x
x(3x(x2x2−1−1)(x2−1)32+3(xx2−1+1)(x2x2−1−1)(x+x2−1)x2−1+2(xx2−1+1)3(x+x2−1)2)−3(x2x2−1−1)x2−1−3(xx2−1+1)2x+x2−1x+x2−1\frac{x \left(\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right)^{2}}\right) - \frac{3 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=xln(x+√(x^2−1))
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