Derivada de xsinx/(xcosx+sinx)

Solución

Ha introducido [src]

     x*sin(x)    
-----------------
x*cos(x) + sin(x)

$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}$$

(x*sin(x))/(x*cos(x) + sin(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- x \left(- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x^{2} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

    x*(-2*cos(x) + x*sin(x))*sin(x)
1 + -------------------------------
                             2     
          (x*cos(x) + sin(x))

$$\frac{x \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                         /                                              2\       
                         |                      2*(-2*cos(x) + x*sin(x)) |       
                       x*|3*sin(x) + x*cos(x) + -------------------------|*sin(x)
                         \                          x*cos(x) + sin(x)    /       
-2*cos(x) + x*sin(x) + ----------------------------------------------------------
                                           x*cos(x) + sin(x)                     
---------------------------------------------------------------------------------
                                x*cos(x) + sin(x)

$$\frac{x \sin{\left(x \right)} + \frac{x \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 3 \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} - 2 \cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                      /                                              3                                                 \       
                                                      |                      6*(-2*cos(x) + x*sin(x))    6*(-2*cos(x) + x*sin(x))*(3*sin(x) + x*cos(x))|       
                                                    x*|4*cos(x) - x*sin(x) + ------------------------- + ----------------------------------------------|*sin(x)
                                                2     |                                            2                   x*cos(x) + sin(x)               |       
                        3*(-2*cos(x) + x*sin(x))      \                         (x*cos(x) + sin(x))                                                    /       
6*sin(x) + 2*x*cos(x) + ------------------------- + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                            x*cos(x) + sin(x)                                                    x*cos(x) + sin(x)                                             
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       x*cos(x) + sin(x)

$$\frac{2 x \cos{\left(x \right)} + \frac{x \left(- x \sin{\left(x \right)} + \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{3}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 6 \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}$$

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

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