Derivada de y=x+1/(1+e^x)-ln(1+e^x)

1. diferenciamos $\left(x + \frac{1}{e^{x} + 1}\right) - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x + \frac{1}{e^{x} + 1}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. Sustituimos $u = e^{x} + 1$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Derivado $e^{x}$ es.

            Como resultado de: $e^{x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

      Como resultado de: $1 - \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = e^{x} + 1$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Derivado $e^{x}$ es.

            Como resultado de: $e^{x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

   Como resultado de: $1 - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1}$

Respuesta:

$\frac{1}{e^{2 x} + 2 e^{x} + 1}$