Derivada de (x*sinx)/cosx

Solución

Ha introducido [src]

x*sin(x)
--------
 cos(x)

$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

(x*sin(x))/cos(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x \sin^{2}{\left(x \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                         2   
x*cos(x) + sin(x)   x*sin (x)
----------------- + ---------
      cos(x)            2    
                     cos (x)

$$\frac{x \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                        /         2   \                                      
                        |    2*sin (x)|          2*(x*cos(x) + sin(x))*sin(x)
2*cos(x) - x*sin(x) + x*|1 + ---------|*sin(x) + ----------------------------
                        |        2    |                     cos(x)           
                        \     cos (x) /                                      
-----------------------------------------------------------------------------
                                    cos(x)

$$\frac{x \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - x \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                                                                           /         2   \
                                                                                                      2    |    6*sin (x)|
                                                                                                 x*sin (x)*|5 + ---------|
                         /         2   \                                                                   |        2    |
                         |    2*sin (x)|                       3*(-2*cos(x) + x*sin(x))*sin(x)             \     cos (x) /
-3*sin(x) - x*cos(x) + 3*|1 + ---------|*(x*cos(x) + sin(x)) - ------------------------------- + -------------------------
                         |        2    |                                    cos(x)                         cos(x)         
                         \     cos (x) /                                                                                  
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                          cos(x)

$$\frac{\frac{x \left(\frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 5\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - x \cos{\left(x \right)} - \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) - 3 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Derivada de (x*sinx)/cosx

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Solución