Derivada de (tan(x)-1)/sec(x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} - 1$ y $g{\left(x \right)} = \sec{\left(x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\tan{\left(x \right)} - 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      3. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\sec{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sec{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\sec^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$