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Derivada de la función/ 5^x^3/ y=(tg^2)x/2+5^x^3

Derivada de y=(tg^2)x/2+5^x^3

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   2         / 3\
tan (x)*x    \x /
--------- + 5    
    2
5x3+xtan⁡2(x)25^{x^{3}} + \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{2} 
(tan(x)^2*x)/2 + 5^(x^3)
Solución detallada

  1. diferenciamos 5x3+xtan⁡2(x)25^{x^{3}} + \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{2} miembro por miembro:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=tan⁡2(x)g{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de: 2x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)+tan⁡2(x)\frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan^{2}{\left(x \right)}

      Entonces, como resultado: x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)+tan⁡2(x)2\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}

    2. Sustituimos u=x3u = x^{3}.

    3. ddu5u=5ulog⁡(5)\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx3\frac{d}{d x} x^{3}:

      1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      3⋅5x3x2log⁡(5)3 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)}

    Como resultado de: 3⋅5x3x2log⁡(5)+x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡(x)cos⁡2(x)+tan⁡2(x)23 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)} + \frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Simplificamos:

    3⋅5x3x2log⁡(5)+xsin⁡(x)cos⁡3(x)+tan⁡2(x)23 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}

Respuesta:

3⋅5x3x2log⁡(5)+xsin⁡(x)cos⁡3(x)+tan⁡2(x)23 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}

Primera derivada [src] 
   2        /         2   \             / 3\          
tan (x)   x*\2 + 2*tan (x)/*tan(x)      \x /  2       
------- + ------------------------ + 3*5    *x *log(5)
   2                 2
3⋅5x3x2log⁡(5)+x(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)2+tan⁡2(x)23 \cdot 5^{x^{3}} x^{2} \log{\left(5 \right)} + \frac{x \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{2} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
               2                                                             / 3\             / 3\           
  /       2   \      /       2   \                 2    /       2   \        \x /             \x /  4    2   
x*\1 + tan (x)/  + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) + 2*x*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 6*x*5    *log(5) + 9*5    *x *log (5)
9⋅5x3x4log⁡(5)2+6⋅5x3xlog⁡(5)+x(tan⁡2(x)+1)2+2x(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)9 \cdot 5^{x^{3}} x^{4} \log{\left(5 \right)}^{2} + 6 \cdot 5^{x^{3}} x \log{\left(5 \right)} + x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
               2      / 3\                                                                                 2              / 3\                  / 3\           
  /       2   \       \x /               2    /       2   \          3    /       2   \       /       2   \               \x /  6    3          \x /  3    2   
3*\1 + tan (x)/  + 6*5    *log(5) + 6*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 4*x*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 8*x*\1 + tan (x)/ *tan(x) + 27*5    *x *log (5) + 54*5    *x *log (5)
27⋅5x3x6log⁡(5)3+54⋅5x3x3log⁡(5)2+6⋅5x3log⁡(5)+8x(tan⁡2(x)+1)2tan⁡(x)+4x(tan⁡2(x)+1)tan⁡3(x)+3(tan⁡2(x)+1)2+6(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)27 \cdot 5^{x^{3}} x^{6} \log{\left(5 \right)}^{3} + 54 \cdot 5^{x^{3}} x^{3} \log{\left(5 \right)}^{2} + 6 \cdot 5^{x^{3}} \log{\left(5 \right)} + 8 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} + 4 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{3}{\left(x \right)} + 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
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