Derivada de x*ln^2(-x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(- x \right)}^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(- x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(- x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = - x$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \log{\left(- x \right)}}{x}$

   Como resultado de: $\log{\left(- x \right)}^{2} + 2 \log{\left(- x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(\log{\left(- x \right)} + 2\right) \log{\left(- x \right)}$

Respuesta:

$\left(\log{\left(- x \right)} + 2\right) \log{\left(- x \right)}$