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Derivada de la función/ z^4+1/ (z+i)^2/ (z+i)^2/(z^4+1)

Derivada de (z+i)^2/(z^4+1)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2
(z + I) 
--------
  4     
 z  + 1
(z+i)2z4+1\frac{\left(z + i\right)^{2}}{z^{4} + 1} 
(z + i)^2/(z^4 + 1)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=(z+i)2f{\left(z \right)} = \left(z + i\right)^{2} y g(z)=z4+1g{\left(z \right)} = z^{4} + 1.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z+iu = z + i.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z+i)\frac{d}{d z} \left(z + i\right):

      1. diferenciamos z+iz + i miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante ii es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        Como resultado de: 11

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z+2i2 z + 2 i

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. diferenciamos z4+1z^{4} + 1 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: z4z^{4} tenemos 4z34 z^{3}

      Como resultado de: 4z34 z^{3}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −4z3(z+i)2+(2z+2i)(z4+1)(z4+1)2\frac{- 4 z^{3} \left(z + i\right)^{2} + \left(2 z + 2 i\right) \left(z^{4} + 1\right)}{\left(z^{4} + 1\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    2(z+i)(z4−2z3(z+i)+1)(z4+1)2\frac{2 \left(z + i\right) \left(z^{4} - 2 z^{3} \left(z + i\right) + 1\right)}{\left(z^{4} + 1\right)^{2}}

Respuesta:

2(z+i)(z4−2z3(z+i)+1)(z4+1)2\frac{2 \left(z + i\right) \left(z^{4} - 2 z^{3} \left(z + i\right) + 1\right)}{\left(z^{4} + 1\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
               3        2
2*I + 2*z   4*z *(z + I) 
--------- - -------------
   4                  2  
  z  + 1      / 4    \   
              \z  + 1/
−4z3(z+i)2(z4+1)2+2z+2iz4+1- \frac{4 z^{3} \left(z + i\right)^{2}}{\left(z^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{2 z + 2 i}{z^{4} + 1}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                 /         4 \\
  |                      2        2 |      8*z  ||
  |                   2*z *(I + z) *|-3 + ------||
  |       3                         |          4||
  |    8*z *(I + z)                 \     1 + z /|
2*|1 - ------------ + ---------------------------|
  |            4                      4          |
  \       1 + z                  1 + z           /
--------------------------------------------------
                           4                      
                      1 + z
2(−8z3(z+i)z4+1+2z2(z+i)2(8z4z4+1−3)z4+1+1)z4+1\frac{2 \left(- \frac{8 z^{3} \left(z + i\right)}{z^{4} + 1} + \frac{2 z^{2} \left(z + i\right)^{2} \left(\frac{8 z^{4}}{z^{4} + 1} - 3\right)}{z^{4} + 1} + 1\right)}{z^{4} + 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
     /                /        4          8  \     /         4 \        \
     |   2          2 |    12*z       16*z   |     |      8*z  |        |
24*z*|- z  - (I + z) *|1 - ------ + ---------| + z*|-3 + ------|*(I + z)|
     |                |         4           2|     |          4|        |
     |                |    1 + z    /     4\ |     \     1 + z /        |
     \                \             \1 + z / /                          /
-------------------------------------------------------------------------
                                        2                                
                                /     4\                                 
                                \1 + z /
24z(−z2+z(z+i)(8z4z4+1−3)−(z+i)2(16z8(z4+1)2−12z4z4+1+1))(z4+1)2\frac{24 z \left(- z^{2} + z \left(z + i\right) \left(\frac{8 z^{4}}{z^{4} + 1} - 3\right) - \left(z + i\right)^{2} \left(\frac{16 z^{8}}{\left(z^{4} + 1\right)^{2}} - \frac{12 z^{4}}{z^{4} + 1} + 1\right)\right)}{\left(z^{4} + 1\right)^{2}}
Simplificar
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