Derivada de x*log(x,10)*(x+5)^5

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x + 5\right)^{5} \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(10 \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \left(x + 5\right)^{5}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 5$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 5\right)$:

         1. diferenciamos $x + 5$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \left(x + 5\right)^{4}$

      $h{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de: $5 x \left(x + 5\right)^{4} \log{\left(x \right)} + \left(x + 5\right)^{5} \log{\left(x \right)} + \left(x + 5\right)^{5}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $\log{\left(10 \right)}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{5 x \left(x + 5\right)^{4} \log{\left(x \right)} + \left(x + 5\right)^{5} \log{\left(x \right)} + \left(x + 5\right)^{5}}{\log{\left(10 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 5\right)^{4} \left(5 x \log{\left(x \right)} + x + \left(x + 5\right) \log{\left(x \right)} + 5\right)}{\log{\left(10 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 5\right)^{4} \left(5 x \log{\left(x \right)} + x + \left(x + 5\right) \log{\left(x \right)} + 5\right)}{\log{\left(10 \right)}}$