Derivada de y=2x/(x+3)^2+sqrt5x^2

1. diferenciamos $\frac{2 x}{\left(x + 3\right)^{2}} + \left(\sqrt{5 x}\right)^{2}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 2 x$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 3\right)^{2}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 3$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

         1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 x + 6$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- 2 x \left(2 x + 6\right) + 2 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}}$

   2. Sustituimos $u = \sqrt{5 x}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{5 x}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5$

   Como resultado de: $5 + \frac{- 2 x \left(2 x + 6\right) + 2 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x + 3\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 2 x + 5 \left(x + 3\right)^{3} + 6}{\left(x + 3\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{- 2 x + 5 \left(x + 3\right)^{3} + 6}{\left(x + 3\right)^{3}}$