Derivada de y=3^xcos^3x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 3^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 3 \cdot 3^{x} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $3^{x} \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)} \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$3^{x} \left(- 3 \sin{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)} \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}$