Derivada de y=e^-x-sine^-x(cose^-x)

1. diferenciamos $- \sin^{- x}{\left(e \right)} \cos^{- x}{\left(e \right)} + e^{- x}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = - x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- e^{- x}$

   4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ y $g{\left(x \right)} = \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = \cos^{x}{\left(e \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. $\frac{d}{d x} \cos^{x}{\left(e \right)} = \left(\log{\left(- \cos{\left(e \right)} \right)} + i \pi\right) \cos^{x}{\left(e \right)}$

            $g{\left(x \right)} = \sin^{x}{\left(e \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. $\frac{d}{d x} \sin^{x}{\left(e \right)} = \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{x}{\left(e \right)}$

            Como resultado de: $\log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)} + \left(\log{\left(- \cos{\left(e \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\left(- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)} - \left(\log{\left(- \cos{\left(e \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)}\right) \sin^{- 2 x}{\left(e \right)} \cos^{- 2 x}{\left(e \right)}$

      Entonces, como resultado: $- \left(- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)} - \left(\log{\left(- \cos{\left(e \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)}\right) \sin^{- 2 x}{\left(e \right)} \cos^{- 2 x}{\left(e \right)}$

   Como resultado de: $- \left(- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)} - \left(\log{\left(- \cos{\left(e \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{x}{\left(e \right)} \cos^{x}{\left(e \right)}\right) \sin^{- 2 x}{\left(e \right)} \cos^{- 2 x}{\left(e \right)} - e^{- x}$

2. Simplificamos:

   $\left(\frac{1}{e \sin{\left(e \right)}}\right)^{x} \left(- \left(\sin{\left(e \right)} \cos{\left(e \right)}\right)^{x} + i \pi e^{x} + \log{\left(\left(- \cos{\left(e \right)}\right)^{e^{x}} \sin^{e^{x}}{\left(e \right)} \right)}\right) \cos^{- x}{\left(e \right)}$

Respuesta:

$\left(\frac{1}{e \sin{\left(e \right)}}\right)^{x} \left(- \left(\sin{\left(e \right)} \cos{\left(e \right)}\right)^{x} + i \pi e^{x} + \log{\left(\left(- \cos{\left(e \right)}\right)^{e^{x}} \sin^{e^{x}}{\left(e \right)} \right)}\right) \cos^{- x}{\left(e \right)}$