Derivada de y=8*(4^cosx+sin4x)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. diferenciamos $4^{\cos{\left(x \right)}} + \sin{\left(4 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

      2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left(4 \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 4^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(x \right)}$

      4. Sustituimos $u = 4 x$.

      5. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \cos{\left(4 x \right)}$

      Como resultado de: $- 4^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}$

   Entonces, como resultado: $- 8 \cdot 4^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(4 \right)} \sin{\left(x \right)} + 32 \cos{\left(4 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 2^{2 \cos{\left(x \right)} + 4} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} + 32 \cos{\left(4 x \right)}$

Respuesta:

$- 2^{2 \cos{\left(x \right)} + 4} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} + 32 \cos{\left(4 x \right)}$