Derivada de 1/(1+e^-x)

1. Sustituimos $u = 1 + e^{- x}$.

2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 + e^{- x}\right)$:

   1. diferenciamos $1 + e^{- x}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Sustituimos $u = - x$.

      3. Derivado $e^{u}$ es.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- e^{- x}$

      Como resultado de: $- e^{- x}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$

4. Simplificamos:

   $\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$