Derivada de y=tg(e^-x)

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(e^{- x} \right)} = \frac{\sin{\left(e^{- x} \right)}}{\cos{\left(e^{- x} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{- x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{- x} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{- x}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x}$:

      1. Sustituimos $u = - x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- e^{- x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- e^{- x} \cos{\left(e^{- x} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{- x}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x}$:

      1. Sustituimos $u = - x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- e^{- x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $e^{- x} \sin{\left(e^{- x} \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- e^{- x} \sin^{2}{\left(e^{- x} \right)} - e^{- x} \cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $- \frac{e^{- x}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{e^{- x}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} \right)}}$