Derivada de x*log(2*x)+2/(1-x)

1. diferenciamos $x \log{\left(2 x \right)} + \frac{2}{1 - x}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x}$

      Como resultado de: $\log{\left(2 x \right)} + 1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 1 - x$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

         1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{2}{\left(1 - x\right)^{2}}$

   Como resultado de: $\log{\left(2 x \right)} + 1 + \frac{2}{\left(1 - x\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\log{\left(2 x \right)} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\log{\left(2 x \right)} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$