Derivada de y=sin(logx)-cos(logx)/x

1. diferenciamos $\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

   4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{- \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

   Como resultado de: $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} - \frac{- \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x^{2}}$