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y=(tgx-ctgx)^2
Derivada de la función/ tgx-ctgx/ y=(tgx-ctgx)^2

Derivada de y=(tgx-ctgx)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2
(tan(x) - cot(x))
(tan⁡(x)−cot⁡(x))2\left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right)^{2} 
(tan(x) - cot(x))^2
Solución detallada

  1. Sustituimos u=tan⁡(x)−cot⁡(x)u = \tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(tan⁡(x)−cot⁡(x))\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right):

    1. diferenciamos tan⁡(x)−cot⁡(x)\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Entonces, como resultado: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    (sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x))(2tan⁡(x)−2cot⁡(x))\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(2 \tan{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)}\right)

  4. Simplificamos:

    2(tan⁡(x)−cot⁡(x))cos⁡4(x)tan⁡2(x)\frac{2 \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right)}{\cos^{4}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

2(tan⁡(x)−cot⁡(x))cos⁡4(x)tan⁡2(x)\frac{2 \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right)}{\cos^{4}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                  /         2           2   \
(tan(x) - cot(x))*\4 + 2*cot (x) + 2*tan (x)/
(tan⁡(x)−cot⁡(x))(2tan⁡2(x)+2cot⁡2(x)+4)\left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 4\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                       2                                                                     \
  |/       2         2   \                         //       2   \          /       2   \       \|
2*\\2 + cot (x) + tan (x)/  + 2*(-cot(x) + tan(x))*\\1 + tan (x)/*tan(x) - \1 + cot (x)/*cot(x)//
2(2((tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x))(tan⁡(x)−cot⁡(x))+(tan⁡2(x)+cot⁡2(x)+2)2)2 \left(2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}\right) \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right) + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{2}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                   /             2                2                                                    \                                                                          \
  |                   |/       2   \    /       2   \         2    /       2   \        2    /       2   \|     //       2   \          /       2   \       \ /       2         2   \|
4*\(-cot(x) + tan(x))*\\1 + cot (x)/  + \1 + tan (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)// + 3*\\1 + tan (x)/*tan(x) - \1 + cot (x)/*cot(x)/*\2 + cot (x) + tan (x)//
4(3((tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x))(tan⁡2(x)+cot⁡2(x)+2)+(tan⁡(x)−cot⁡(x))((tan⁡2(x)+1)2+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+(cot⁡2(x)+1)2+2(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)))4 \left(3 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) + \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}\right)\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(tgx-ctgx)^2
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