Derivada de y=((x+3)sqrt(2x-1))/(2x+7)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x + 3\right) \sqrt{2 x - 1}$ y $g{\left(x \right)} = 2 x + 7$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sqrt{2 x - 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x - 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)$:

         1. diferenciamos $2 x - 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$

      $g{\left(x \right)} = x + 3$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $\frac{x + 3}{\sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{2 x - 1}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x + 7$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $2$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 2 \left(x + 3\right) \sqrt{2 x - 1} + \left(2 x + 7\right) \left(\frac{x + 3}{\sqrt{2 x - 1}} + \sqrt{2 x - 1}\right)}{\left(2 x + 7\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x^{2} + 15 x + 20}{\sqrt{2 x - 1} \left(4 x^{2} + 28 x + 49\right)}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{2} + 15 x + 20}{\sqrt{2 x - 1} \left(4 x^{2} + 28 x + 49\right)}$