Derivada de y=xsin(lnx/ln7)

Solución

Ha introducido [src]

     /log(x)\
x*sin|------|
     \log(7)/

$$x \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}$$

x*sin(log(x)/log(7))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    Entonces, como resultado: $\frac{1}{x \log{\left(7 \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{x \log{\left(7 \right)}}$
Como resultado de: $\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$
Simplificamos:

$\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$

Respuesta:

$\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

   /log(x)\              
cos|------|              
   \log(7)/      /log(x)\
----------- + sin|------|
   log(7)        \log(7)/

$$\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

     /log(x)\              
  sin|------|              
     \log(7)/      /log(x)\
- ----------- + cos|------|
     log(7)        \log(7)/
---------------------------
          x*log(7)

$$\frac{- \frac{\sin{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{\log{\left(7 \right)}} + \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{x \log{\left(7 \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                   /log(x)\
                cos|------|
     /log(x)\      \log(7)/
- cos|------| - -----------
     \log(7)/        2     
                  log (7)  
---------------------------
          2                
         x *log(7)

$$\frac{- \cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \right)}}{\log{\left(7 \right)}^{2}}}{x^{2} \log{\left(7 \right)}}$$

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Gráfico

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